МНОГОУГОЛЬНИКИ
КОНСТРУКТИВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
ЦЕЛИ для всего комплекта материалов: прямая: визуальное различение геометрических фигур, повторение и запоминание их названий, знакомство с основными линиями в треугольнике. Косвенная: подготовка к изучению математики.
ПРИМЕЧАНИЯ: 1) Этот материал также относится к числу продвинутых и предназначен для зрительного различения форм. Перед началом работы с конструктивными треугольниками ребенок уже должен знать названия геометрических фигур – в частности, в результате занятий с Геометрическим комодом. 2) Ящики с Конструктивными треугольниками ставят справа или по соседству от Геометрического комода, например, на нижнюю полку. Лучше всего расставить их друг за другом в открытом виде в том порядке, как они перечислены ниже. Однако, для экономии места их можно расположить в следующем порядке: Прямоугольный ящик №1, под ним – Прямоугольный ящик №2, справа – Треугольный ящик, еще правее – Малый шестиугольный ящик на Большом шестиугольном ящике. 3) С материалом удобнее работать на коврике, так как это требует достаточно места. Кроме того, при передвижении фигур по столу создается шум.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ЯЩИК № 1.
МАТЕРИАЛ: 6 пар конгруэнтных треугольников и два неконгруэнтных треугольника, размещенных в плоском деревянном ящике с крышкой:
1) 2 прямоугольных равнобедренных треугольника зеленого цвета. Вдоль гипотенузы обоих треугольников проведена черная линия;
2) 2 прямоугольных равнобедренных треугольника желтого цвета, конгруэнтных первой паре треугольников, но черная линия проведена вдоль одного из соответствующих катетов каждого треугольника;
3) 2 равносторонних треугольника желтого цвета. Вдоль одной из сторон каждого треугольника проведена черная линия;
4) 2 неравносторонних прямоугольных треугольника серого цвета. Черная линия проведена вдоль гипотенузы каждого из них;
5) 2 неравносторонних прямоугольных треугольника желтого цвета, конгруэнтных предыдущей паре. Черная линия проведена вдоль коротких катетов каждого треугольника;
6) 2 неравносторонних прямоугольных треугольника зеленого цвета, конгруэнтных 4 паре. Черная линия проведена вдоль длинных катетов каждого треугольника;
7) неравносторонний прямоугольный треугольник красного цвета. Черная линия проведена вдоль длинного катета. Тупоугольный равнобедренный треугольник красного цвета, вдоль основания которого проходит черная линия. Длина его основания равна длине большего катета красного прямоугольного треугольника.
На обратной стороне всех фигур из этого ящика имеется круглая метка одного и того же цвета (такая же имеется и на обратной стороне крышки), которая отличается по цвету от меток на фигурах из других ящиков с конструктивными треугольниками.
ЦЕЛИ: прямая: построение основных геометрических фигур: квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограммов, трапеции; повторение названий геометрических фигур. Косвенная: подготовка к изучению математики.
ПРЕЗЕНТАЦИЯ:
1) Открытый ящик стоит на полке на собственной крышке. Учитель: ” Тебе нравятся эти фигуры? Как они называются? Правильно, треугольники А ты знаешь, что из них можно сложить много других фигур? Нет? Тогда я покажу тебе, как это делают. Ты можешь взять этот ящик, но прежде принеси, пожалуйста, коврик. Учитель закрывает крышку ящика в то время, как ребенок расстилает коврик.
2) Ящик ставят на коврик, вынимают из него треугольники 1, 2 и 4 пары, закрывают крышкой и отставляют в сторону. Треугольники вперемешку лежат на коврике. Учитель берет зеленый треугольник, сдвигает его влево и кладет таким образом, чтобы прямой угол находился внизу слева, а нижний катет располагался бы горизонтально по отношению к ребенку и учителю.
Учитель внимательно осматривает оставшиеся треугольники, находит второй зеленый треугольник, кладет его рядом с первым -справа от него в точно таком же положении.
Точно так же учитель находит пару серых и пару желтых треугольников и располагает эти пары друг под другом. Теперь на ковре справа появилось свободное место для дальнейшей работы.
3) Учитель: “А теперь построим из этих треугольников новые фигуры/’
Он пододвигает к себе 2 зеленых треугольника, указательным пальцем медленно проводит вдоль черной линии сначала одного, потом другого и, убедившись, что ребенок внимательно смотрит, вращает правый треугольник и медленно пододвигает его к левому, совмещая черные линии. Получается зеленый квадрат.
Затем учитель берет 2 серых треугольника, проводит указательным пальцем вдоль черных линий на обоих треугольниках, совмещает черные линии и получает прямоугольник. Он кладет прямоугольник справа от квадрата таким образом, что его длинная сторона параллельна стороне квадрата. Сразу видно, что это стороны равны.
Последним из этой серии фигур учитель строит ромб, кладет его справа от прямоугольника таким образом, что длинная диагональ ромба располагается вертикально.
4) Учитель спрашивает: “Скажи, пожалуйста, как называются эти фигуры?’ Если ребенок затрудняется, учитель называет их сам, напоминая ему.
5) Учитель: “Теперь я покажу тебе еще что-то новое/’ Он вынимает из ящика и раскладывает вперемешку на ковре все остальные треугольники, кроме красных. Далее следует процесс поиска пар конгруэнтных треугольников и построения из них новых фигур. В результате получаются 3 параллелограмма – 2 желтых и 1 зеленый. Их кладут друг рядом с другом под первой серией фигур. Учитель снова спрашивает ребенка, как называются полученные фигуры.
6) Учитель говорит: “У меня остались еще 2 треугольника/’ Он вынимает 2 красных треугольника, располагает красный прямоугольный треугольник гипотенузой вниз (горизонтально по отношению к себе) проводит указательным пальцем вдоль черных линий на обоих треугольниках и, вращая тупоугольный треугольник, совмещает черные линии. Так получается трапеция. Ребенка снова просят назвать эту фигуру.
7) Все треугольники перемешивают. Ребенок ищет пары и строит фигуры самостоятельно. Можно еще раз предложить ему назвать получившиеся фигуры. Позже ребенок может сложить из треугольников и другие композиции.
8) По окончании работы очень важно показать процесс уборки материала. На дно ящика кладут 2 красных треугольника. Над ними кладут “желтый слой”, состоящий из треугольников 2 и 5 пар. Еще выше кладут “зеленый слой” из треугольников 1 и 6 пары. Наконец, сверху укладывают треугольники 3 и 4 пар.
При такой укладке треугольники располагаются в нужном для следующей презентации порядке. Ящик с Конструктивными треугольниками относят на место и ставят на полку.
ОСОБЫЙ ИНТЕРЕС: возникновение новых фигур.
КОНТРОЛЬ ОШИБОК: с помощью черных линий; визуальный.
ВОЗРАСТ: с 4 лет.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ЯЩИК № 2.
МАТЕРИАЛ: 4 пары голубых треугольников без черных маркировочных линий. Треугольники имеют ту же форму, что и треугольники 1, 3, 4 и 7 пар из Прямоугольного ящика 1. Треугольники расположены в деревянном ящике с крышкой, по размерам совпадающем с ящиком 1.
ЦЕЛИ: прямая: построение из треугольников без маркировочных линий новых геометрических фигур; преобразование квадрата в параллелограммы; преобразование прямоугольника в параллелограммы. Косвенная: подготовка к изучению математики.
ПРЕЗЕНТАЦИЯ:
1) Учитель, заметив, что ребенок легко строит геометрические фигуры из Треугольников ящика 1, может сказать: “У тебя здорово получается! Ты уже сам умеешь складывать эти фигуры! А без помощи черных линий ты сможешь это сделать? Тогда ты можешь убрать этот ящик на место и принести другой прямоугольный ящи^\ Ребенок выполняет задание.
2) Треугольники выкладывают вперемешку на ковре. Учитель предлагает ребенку найти пары одинаковых треугольников и сложить из них квадрат, прямоугольник и ромб. Из оставшихся двух треугольников он просит сложить трапецию. ПРИМЕЧАНИЕ: если ребенок затрудняется, можно показать ему ход действий.
Сначала отыскивают пару равнобедренных прямоугольных треугольников и откладывают их влево; под ними кладут пару неравносторонних прямоугольных треугольников; еще ниже – пару равносторонних треугольников; в самом низу – два оставшихся треугольника.
Затем из верхней пары треугольников строится квадрат, из следующей пары – прямоугольник, далее – ромб и трапеция.
3) Учитель: “Теперь я покажу тебе что-то очень интересное!’
Он придвигает к себе квадрат. Допустим, диагональ квадрата проходит сверху слева вниз направо. Учитель левой рукой плотно прижимает к ковру треугольник, находящийся ниже диагонали (назовем его неподвижным), а правой рукой двигает треугольник, находящийся выше диагонали, вдоль этой диагонали влево вверх до тех пор, пока треугольники не соприкоснутся только своими вершинами.
Затем тот же самый треугольник (назовем его подвижным) он перемещает вниз таким образом, что катет подвижного треугольника скользит вдоль катета неподвижного. Перемещение заканчивается тогда, когда острый угол подвижного треугольника соприкоснется с вершиной прямого угла неподвижного треугольника. (Рис. 2).
Рисунок 2. Преобразование квадрата. В результате получается параллелограмм. Учитель: “Смотри, что у нас получилось! Как называется эта фигура? Правильно, параллелограмм.
4) Учитель снова плотно прижимает к ковру тот же самый треугольник и продолжает перемещение подвижного треугольника вниз вдоль его катета до тех пор, пока вершины прямых углов не соприкоснутся.
Затем подвижный треугольник перемещают вправо таким образом, что другой его катет скользит вдоль второго катета неподвижного треугольника.
Процесс продолжается до тех пор, пока вершина прямого угла подвижного треугольника не соприкоснется с вершиной острого угла неподвижного треугольника. Снова получается параллелограмм. Учитель опять спрашивает ребенка, как называется эта фигура.
5) Продолжая перемещать подвижный треугольник вдоль катета, а затем вдоль гипотенузы неподвижного в том же направлении, учитель получает первоначальный квадрат. Можно сказать, что подвижный треугольник сделал полный оборот против часовой стрелки вокруг неподвижного треугольника.
6) Те же действия учитель повторяет с прямоугольником. В результате последовательно получаются два параллелограмма, после чего происходит возвращение к исходному прямоугольнику. (Рис. 3).
Рисунок 3. Преобразование прямоугольника. 7) Аналогично поступают с ромбом и приходят к выводу, что из него всякий раз получается конгруэнтный ему ромб. (Рис. 4).
Рисунок 4. Преобразование ромба.
8) Можно попробовать проделать аналогичные действия с трапецией и установить, что помимо скольжения (или, выражаясь математическим языком, параллельного переноса) необходимо еще и поворачивать подвижный треугольник. При этом не получается новых фигур известной формы, а возникают некие сложные фигуры.
9) Ребенок повторяет действия учителя; затем он может экспериментировать самостоятельно, выкладывая из треугольников различные фигуры более сложной формы.
10) По окончании работы треугольники складывают в ящик в произвольном порядке и относят ящик на место.
ОСОБЫЙ ИНТЕРЕС: возникновение новых фигур при скольжении одного треугольника вдоль сторон другого.
КОНТРОЛЬ ОШИБОК: визуальный.
УПРАЖНЕНИЯ:
1) Повторение работы, показанной на презентации, для повторения и закрепления пройденного.
2) Сравнение получившихся в процессе презентации фигур с фигурами из прямоугольного ящика 1. При выполнении этого упражнения мы приходим к очень интересным выводам. В частности, становится совершенно ясно, почему в Прямоугольном ящике 1 находятся треугольники в том количестве и той формы, какую они имеют.
а) Учитель просит ребенка принести оба прямоугольных ящика, построить все фигуры из 1 ящика и раскладывает их на ковре в следующем порядке:
- в верхнем ряду слева направо: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция;
- в нижнем ряду: под квадратом – большой желтый параллелограмм, под прямоугольником – два оставшихся параллелограмма один под другим.
б) Учитель просит ребенка сложить из голубых треугольников квадрат, прямоугольник, ромб, трапецию и положить их (в названном порядке слева направо) справа от цветных фигур.
в) Учитель пододвигает к себе голубой квадрат и спрашивает ребенка: “Среди разноцветных фигур есть такая фигура? Как она называется?’ Ребенок указывает на зеленый квадрат и говорит: “Это квадра?\ Учитель: “Как ты докажешь, что они одинаковы?’ Ребенок кладет зеленый квадрат на голубой, подтверждая их конгруэнтность. Затем зеленый квадрат возвращают на место.
г) Учитель, как и во время презентации, прижимает левой рукой треугольник под диагональю, а правой сдвигает второй треугольник вдоль гипотенузы вверх, затем вдоль катета вниз до тех пор, пока не получится параллелограмм. Он спрашивает ребенка, как называется эта фигура и присутствует ли она среди цветных фигур. Если ребенок догадается перевернуть большой желтый параллелограмм желтой стороной вниз, то он сможет совместить его с голубым параллелограммом. Если нет, учитель показывает ему это. Затем желтый параллелограмм возвращают на место.
д) Подвижный треугольник снова перемещают относительно неподвижного сначала вниз вдоль одного катета, затем вправо вдоль другого до тех пор, пока не получится параллелограмм. Ребенок догадывается, что голубой и большой желтый параллелограммы одинаковы и совмещает их. Затем голубой параллелограмм снова преобразовывают в квадрат и сдвигают вправо на прежнее место.
е) Аналогичную работу проделывают с голубым прямоугольником и выясняют, что таким способом получаются три различные фигуры: прямоугольник и 2 неконгруэнтных (неодинаковых) параллелограмма.
ж) В случае с ромбом при таких перемещениях все время получается одна и та же фигура – ромб; а трапеция вообще не поддается подобному преобразованию. Ребенок может заметить, что из двух одинаковых (конгруэнтных) треугольников при помощи названных преобразований получается столько разных геометрических фигур, сколько разных сторон он имеет.
Например, прямоугольник состоит из двух треугольников, имеющих 3 стороны разной длины, поэтому из него получается 3 различные фигуры; квадрат состоит из двух треугольников, имеющих по 2 стороны разной длины, – следовательно, из него получается всего 2 различные фигуры; у треугольников, из которых состоит ромб, все стороны равны – следовательно, мы получаем из него только одну фигуру. Трапецию же вообще нельзя преобразовать в известные геометрические фигуры указанным способом.
3) Обвести какой-либо треугольник или треугольники простым карандашом, положив его или их на лист бумаги. Вырезать несколько экземпляров треугольников и сложить из них другие красивые геометрические фигуры – возможно, более сложной формы.
ВОЗРАСТ: с 4 лет.
ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЯЩИК
МАТЕРИАЛ: 4 равносторонних треугольника того же размера, что и Треугольный ящик. Они уложены в ящик следующим образом:
1) на дне ящика лежит треугольник красного цвета, разрезанный по трем средним линиям на 4 конгруэнтные части (равносторонние треугольники). Средний треугольник имеет черные линии вдоль всех своих сторон; остальные 3 треугольника имеют черные линии вдоль лишь одной из своих сторон, непосредственно соприкасающейся со сторонами среднего треугольника;
2) над ним лежит треугольник желтого цвета, разрезанный на 3 конгруэнтные части (на 3 равнобедренных треугольника) вдоль биссектрис каждого угла. Вдоль боковых сторон каждого из получившихся треугольников проведены черные линии;
3) еще выше располагается треугольник зеленого цвета, разрезанный вдоль своей высоты на 2 конгруэнтные части (на 2 прямоугольных треугольника). Вдоль длинных катетов каждого из них проведена черная линия;
4) сверху лежит целый серый треугольник.
ЦЕЛИ: прямая: построение треугольника из двух, трех, четырех конгруэнтных треугольников. Косвенная: подготовка к изучению математики; создание сенсорной базы для последующего введения понятий “высота”, “средняя линия треугольника”, “биссектрисы углов треугольника”.
ПРЕЗЕНТАЦИЯ:
1) На полке ящик стоит открытым на собственной крышке. Учитель: “Смотри, здесь тоже есть треугольник, но такого большого ты еще не видел! Давай возьмем этот ящик и посмотрим, что с ним делают! Но сначала принеси, пожалуйста, коврик” Ребенок расстилает коврик и приносит Треугольный ящик.
2) Учитель вынимает из ящика серый треугольник и откладывает его в левую сторону. Этот треугольник будет служить образцом и средством контроля ошибок. Далее учитель и ребенок вперемешку вынимают из ящика и раскладывают все треугольники.
3) Учитель берет зеленый треугольник, сдвигает его влево, затем внимательно осматривает оставшиеся треугольники, находит второй зеленый треугольник и кладет его справа от первого. Учитель находит по очереди все желтые треугольники и кладет их друг рядом с другом под зелеными. Оставшиеся красные треугольники он выкладывает в ряд под желтыми. Обычно ребенок быстро понимает, что нужно делать, и по собственной инициативе помогает учителю.
4) Учитель берет 2 зеленых треугольника, кладет их рядом на некотором расстоянии друг от друга таким образом, чтобы их длинные катеты были параллельны, а короткие катеты располагались горизонтально по отношению к ребенку и учителю. Указательным пальцем правой руки он проводит сначала вдоль черной линии одного треугольника, потом – другого, обращая на них внимание ребенка, а затем медленно сдвигает их и получает один большой зеленый равносторонний треугольник. Для контроля ошибок учитель кладет серый треугольник на зеленый и убеждается, что они совпадают.
5) Аналогично учитель поступает с желтыми, а затем с красными треугольниками.
6) Фигуры снова перемешивают. Ребенок повторяет действия учителя. При этом учитель может спросить: “На сколько частей разделен этот треугольник?’ или: “Ты знаешь, как называется такой треугольник?’
7) Материал складывают в ящик, обращая внимание ребенка на порядок расположения треугольников, и убирают его на место.
ОСОБЫЙ ИНТЕРЕС: тот факт, что равносторонний треугольник можно разделить на равные части различными способами.
КОНТРОЛЬ ОШИБОК: при помощи серого треугольника; черные линии.
УПРАЖНЕНИЯ:
1) Повторение работы, показанной на презентации, для закрепления пройденного.
2) Убедиться с помощью наложения, что большой треугольник действительно делится на равные (конгруэнтные) части.
3) Обвести простым карандашом серый треугольник, положив его на лист бумаги. Согнуть его пополам вдоль одной из высот, затем -вдоль второй и третьей высоты. Убедиться в том, что все высоты пересекаются в одной точке. Сравнить треугольники, основаниями которых служат стороны исходного треугольника, а вершиной тупого угла – точка пересечения его высот, с желтыми треугольниками. Убедиться, что они конгруэнтны. Раскрасить бумажные треугольники в соответствующие цвета.
4) Сложить из всех или из нескольких треугольников более сложные геометрические фигуры.
5) Сложить из частей целый треугольник с завязанными глазами. ВОЗРАСТ: с 3,5 – 4 лет.
МАЛЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНЫЙ ЯЩИК
МАТЕРИАЛ: в деревянном ящике с крышкой в форме правильного шестиугольника находятся:
• 6 серых равносторонних треугольников с черными линиями вдоль двух своих сторон;
• 3 зеленых равносторонних треугольника, два из которых имеют черную линию вдоль одной из сторон, один – вдоль двух сторон;
• 2 красных равносторонних треугольника с черной линией вдоль одной стороны каждого из них;
• 6 красных тупоугольных равнобедренных треугольников с черной линией вдоль основания каждого из них.
ЦЕЛИ: прямая: узнать, что правильный шестиугольник можно построить из двух трапеций, шести равносторонних треугольников, шести равнобедренных тупоугольных треугольников или из трех ромбов. Косвенная: подготовка к изучению математики.
ПРЕЗЕНТАЦИЯ:
ПРИМЕЧАНИЕ: здесь все время речь идет о правильном шестиугольнике. Слово “правильный” в дальнейшем тексте мы опускаем.
1) Учитель в ответ на возможный вопрос ребенка о том, что делают с этим материалом: “Что ж, давай посмотрим. Ты можешь взять этот ящик и отнести его на коврик. Ребенок выполняет задание.
2) Из ящика вынимают все треугольники, кроме красных тупоугольных, и раскладывают их в беспорядке на ковре. Затем фигуры сортируют по цвету и складывают следующим образом: ряд серых треугольников; под ним – ряд зеленых треугольников; еще ниже – красные равносторонние треугольники.
ПРИМЕЧАНИЕ: сортировка – начальная стадия работы с любым ящиком конструктивных треугольников; она уже знакома ребенку, поэтому он может помочь учителю уже во время первой презентации.
3) Учитель берет все серые треугольники, проводит указательным пальцем вдоль черных линий и строит серый шестиугольник, убеждаясь в том, что это возможно.
4) Учитель берет зеленые треугольники, проводит указательным пальцем вдоль черных линий и строит трапецию. Он кладет трапецию на шестиугольник, демонстрируя, что она составляет половину шестиугольника. Затем он переворачивает или передвигает трапецию таким образом, что они оказывается на второй половине шестиугольника. Становится очевидно, что шестиугольник можно построить из двух трапеций. Трапецию откладывают в сторону.
5) Учитель берет красные равносторонние треугольники, строит ромб и кладет его на шестиугольник таким образом, что ромб занимает третью часть последнего. Затем он сдвигает ромб дважды так, что тот каждый раз оказывается на одной из оставшихся третей шестиугольника. Вывод: шестиугольник можно построить из 3 ромбов.
6) Из ящика вынимают все оставшиеся равнобедренные тупоугольные треугольники и строят из них 3 конгруэнтных ромба. Черные линии проходят вдоль длинной диагонали ромбов. Первоначально построенный красный ромб, черные линии в котором проходят вдоль короткой диагонали, кладут поочередно на каждый из 3 новых ромбов и убеждаются, что все они конгруэнтны.
7) Учитель сдвигает 3 новых ромба вместе так, чтобы получился шестиугольник. Ребенок еще раз видит, что шестиугольник можно построить из 3 ромбов, однако основной вывод на этом шаге презентации состоит в том, что шестиугольник можно построить из 6 равнобедренных тупоугольных треугольников.
ПРИМЕЧАНИЕ: отсюда следует ряд более глубоких выводов, полезных в дальнейшем при изучении площадей фигур:
а) площадь серого шестиугольника равна шести площадям серых равносторонних треугольников, равна двум площадям зеленой трапеции, равна трем площадям красного ромба, равна шести площадям равнобедренного тупоугольного треугольника.
б) Площадь красного равностороннего треугольника равна площади красного равнобедренного тупоугольного треугольника.
в) Материал убирают в ящик в следующем порядке: вниз – 6 красных равнобедренных тупоугольных треугольников; выше – слой серых треугольников, еще выше – зеленые и красные равносторонние треугольники.
ОСОБЫЙ ИНТЕРЕС: открытие того факта, что шестиугольник можно построить различными способами.
КОНТРОЛЬ ОШИБОК: визуальный; с помощью черных линий. ВОЗРАСТ: с 4 лет.
БОЛЬШОЙ ШЕСТИУГОЛЬНЫЙ ЯЩИК
МАТЕРИАЛ: в деревянном ящике с крышкой правильной шестиугольной формы находятся:
- один большой равносторонний треугольник с черными линиями вдоль всех сторон;
- 3 равнобедренных тупоугольных треугольника желтого цвета с черными линиями вдоль оснований;
- 3 равнобедренных тупоугольных треугольника желтого цвета с черными линиями вдоль всех сторон;
- 2 равнобедренных тупоугольных треугольника красного цвета с черными линиями вдоль оснований;
- 2 равнобедренных тупоугольных треугольника серого цвета с черными линиями вдоль одной из боковых сторон.
ЦЕЛИ: прямая: узнать, что правильный шестиугольник можно построить из 2 больших равносторонних треугольников или из 3 параллелограммов, однако для этого требуется сначала их преобразовать в другие фигуры. Косвенная: подготовка к изучению математик; подготовка к нахождению площадей.
ПРЕЗЕНТАЦИЯ:
1) Учитель, заметив, что ребенок вынул все фигуры из Большого шестиугольного ящика и пытается что-то из них построить: ” Ты уже знаешь, как можно построить шестиугольник из двух вот таких больших желтых треугольников? Давай попробуем сделать это вместе! Только сначала мы рассортируем все треугольники. Ты поможешь?” Треугольники сортируют по цвету и раскладывают в ряды.
2) Учитель берет большой равносторонний треугольник желтого цвета и 3 желтых равнобедренных тупоугольных треугольника с черными линиями вдоль оснований. Он проводит пальцем вдоль черных линий и строит шестиугольник.
Затем учитель переворачивает тупоугольные треугольники “внутрь” таким образом, что они оказываются лежащими на желтом равностороннем треугольнике. Вывод: шестиугольник можно построить из 2 больших равносторонних треугольников, предварительно разрезав один из них на 3 одинаковые части.
3) Желтые тупоугольные треугольники переворачивают обратно, восстановив шестиугольник. Учитель берет оставшиеся тупоугольные треугольники с черными линиями вдоль каждой из сторон. Он кладет из сверху на большой равносторонний треугольник и раздвигает в разные стороны 3 получившихся ромба. Учитель убирает большой равносторонний треугольник и откладывает его в сторону. Он сдвигает ромбы и снова получает шестиугольник. Так ребенок еще раз видит, что шестиугольник можно построить из трех ромбов.
4) Учитель складывает красный ромб и серый параллелограмм. Он преобразует серый параллелограмм в ромб и кладет его на красный ромб, убеждаясь в их конгруэнтности. Затем он снова возвращает параллелограмм в прежнее состояние, а красный ромб трижды накладывает на шестиугольник. Вывод: шестиугольник можно построить из 3 параллелограммов, предварительно преобразовав их в ромбы.
5) Ребенок повторяет действия учителя и самостоятельно экспериментирует.
6) Материал складывают в ящик и убирают на место. ПРИМЕЧАНИЕ: из выводов, полученных при работе с большим
шестиугольным ящиком, вытекают следствия, весьма полезные при изучении площадей фигур:
а) площадь желтого шестиугольника равна двум площадям большого желтого равностороннего треугольника, равна трем площадям серого параллелограмма;
б) площадь серого параллелограмма равна площади красного ромба;
в) площадь серого параллелограмма равна двум площадям серого треугольника.
ОСОБЫЙ ИНТЕРЕС: преобразование одних фигур в другие.
КОНТРОЛЬ ОШИБОК: визуальный; с помощью черных линий.
УПРАЖНЕНИЯ: 1) Повторение работы, показанной на презентации, для закрепления пройденного.
2) Комбинации треугольников и построение более сложных геометрических фигур.
3) Обвести треугольники простым карандашом, положив их на лист бумаги. Вырезать, раскрасить, наклеить в альбом, надписать их названия. Провести основные линии в треугольнике – высоты, биссектрисы, медианы, средние линии. Обозначить основания, боковые стороны, катеты, гипотенузы и т.д. – и подписать их названия.
4) Попытаться разрезать бумажные треугольники и сложить их так, чтобы получить новые фигуры.
ПРИМЕЧАНИЕ: в качестве примера приведем отрывки из нашего учебного пособия “Математика по методу Монтессори в детском саду и школе” [9, С. 34 – 40], в которых выявляется значение работы с Конструктивными треугольниками для предварительной математической подготовки детей.
“Имеется 5 ящиков с Конструктивными треугольниками Фигуры из первого ящика позволяют показать, как из двух конгруэнтных неравносторонних прямоугольных треугольников можно поочередно построить 3 различные фигуры – прямоугольник и два неконгруэнтных параллелограмма, из двух конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольников – 2 фигуры: квадрат и параллелограмм. Из двух конгруэнтных равносторонних треугольников получается только 1 фигура – ромб, а из двух неконгруэнтных треугольников, если, конечно, их подобрать соответствующим образом, можно построить трапецию. Посредством голубых треугольников из второго ящика показывают, как перечисленные выше фигуры, принадлежащие одной и той же “цепочке”, преобразуются друг в друга. <…> Разумеется, термины “ПЕРЕМЕЩЕНИЕ”, “КОМПОЗИЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ”, “ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС”, “ВЕКТОР”, “СУММА ВЕКТОРОВ” не говорят ребенку дошкольного возраста, однако, работа с первыми двумя ящиками Конструктивных треугольников объективно создает прекрасную базу для последующего введения этих понятий в школе. К сожалению, и эта идея в математических материалах Монтессори осталась нереализованной.
К знакомству с какими же еще понятиями геометрии можно ин-директивно подготовить ребенка посредством Конструктивных треугольников? Для ответа на этот вопрос обратимся к трем оставшимся ящикам.
В третьем (Треугольном) ящике содержатся 4 конгруэнтных друг другу равносторонних треугольника, три из которых разделены на 2, 3 и 4 конгруэнтные части соответственно, а один – целый. Линии деления представляют собой высоту, биссектрисы, которые в случае равностороннего треугольника являются одновременно его медианами, и средние линии. Точка пересечения биссектрис треугольника является, как известно, центром вписанной в него окружности.
Четвертый (Малый шестиугольный) ящик предназначен для демонстрации того факта, что правильный шестиугольник может быть построен из двух конгруэнтных трапеций, трех ромбов или шести равносторонних треугольников, не преобразовывая их. С помощью фигур пятого (Большого шестиугольного) ящика можно показать, что правильный шестиугольник возможно также построить из двух больших равносторонних треугольников или трех параллелограммов, предварительно разрезав их подходящим образом.
Очевидно, что точный смысл выражения “может быть построен из не преобразовывая их” может быть передан с помощью понятия “КОНГРУЭНТНОСТЬ”. Действительно, правильный шестиугольник, построенный из двух трапеций, конгруэнтен шестиугольнику, построенному из трех ромбов или из шести маленьких равносторонних треугольников, что подтверждается наложением их друг на друга в процессе работы с этим материалом. Сказанное справедливо и для фигур треугольного ящика – конгруэнтность составленных из нескольких частей треугольников целому треугольнику подтверждается наложением, – а также для фигур из первых двух ящиков, когда, например, конгруэнтность голубого прямоугольника из второго ящика и серого прямоугольника из первого подтверждается посредством их совмещения друг с другом.
Фигуры пятого (Большого шестиугольного) ящика косвенным образом отлично подготавливают ребенка к последующему знакомству с понятием “РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ”. Действительно, правильный шестиугольник равновелик двум большим равносторонним треугольникам или трем параллелограммам, но не конгруэнтен их объединению. Среди фигур первого ящика равновеликими, но не конгруэнтными друг другу являются квадрат и большой зеленый параллелограмм, а также серый прямоугольник, узкие зеленый и желтый параллелограммы, поскольку они составлены из одних и тех же фигур, то есть являются равносоставленными. “РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ” – еще одно геометрическое понятие, потенциально присутствующее в материале.
На примере фигур из третьего и четвертого ящика также можно обсуждать понятие “равновеликие фигуры”. Школьный математический материал Монтессори предполагает знакомство с понятиями “конгруэнтные” и “равновеликие фигуры”, в том числе с использованием Конструктивных треугольников.
Процесс работы с Большим шестиугольным ящиком индирек-тивно использует понятие “ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ” и свойства РЕФЛЕКСИВНОСТИ, СИММЕТРИЧНОСТИ и ТРАНЗИТИВНОСТИ отношения эквивалентности. Отношение конгруэнтности тоже является отношением эквивалентности, и свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности также неявно используются при работе с конструктивными треугольниками. Так например, чтобы удостовериться, что все построенные из частей треугольники из Треугольного ящика при наложении совпадают друг с другом или, по сути, конгруэнтны друг другу, можно каждый из них положить на целый серый треугольник, убедиться, что все они ему конгруэнтны, и сделать вывод об их конгруэнтности друг другу.
Современная математика рассматривает геометрическую фигуру как МНОЖЕСТВО точек плоскости. Плоская фигура, как и плоскость, не имеет толщины и представляет собой математическую абстракцию. Конструктивные треугольники, строго говоря, являются моделями геометрических фигур, так как имеют толщину, которая, однако, гораздо меньше их двух остальных измерений. Будем считать, поэтому, что Конструктивные треугольники являются фигурами, представляющими собой множества точек плоскости, и будем говорить о теоретико-множественных операциях с ними, в частности, об ОБЪЕДИНЕНИИ МНОЖЕСТВ.
Вообще, составляя из треугольников новые фигуры, мы каждый раз осуществляем объединение множеств. Так, квадрат из первого ящика является объединением двух треугольников, желтый треугольник из Треугольного ящика – объединением трех треугольников, серый шестиугольник из Малого шестиугольного ящика – объединением шести треугольников, и т. д. На этом же материале удобно знакомить ребенка с понятием ПОДМНОЖЕСТВА: каждый из треугольников, образующих новую фигуру, является подмножеством множества точек этой фигуры. Операцию пересечения множеств удобнее продемонстрировать на другом материале.
В связи с Конструктивными треугольниками нельзя не затронуть понятия ЦЕЛОГО И ЧАСТИ, а также некоторые проблемы, связанные с вычислением ПЛОЩАДЕЙ.
Наконец, работа с Конструктивными треугольниками способствует углублению представлений о ПЛОСКИХ ФИГУРАХ, запоминанию их названий, а позже – и названий некоторых особых линий в треугольнике – медиана, высота, биссектриса, основание, и т.д. – или в других многоугольниках – сторона, диагональ, и т.д.”
РАСШИРЕНИЕ СЛОВАРНОГО ЗАПАСА: названия геометрических фигур и названия основных линий в треугольнике.
ВОЗРАСТ: с 4 лет.
