МАТЕРИАЛ: в деревянном ящике, имеющем 10 отделений разного размера, находятся пластмассовые прямоугольники и квадраты разного цвета. В каждом отделении лежат квадрат и прямоугольники одного и того же цвета, имеющие одинаковую ширину. Цвет квадрата или прямоугольника, имеющего длину к см, совпадает с цветом бусин на стержне из к бусин (см. математические материалы). Таким образом, квадрат со стороной 1 см – красного цвета, квадрат и прямоугольники длиной 2 см – зеленого цвета; длиной 3 см – розового; длиной 4 см – желтого; длиной 5 см – светло-голубого; 6 см – сиреневого; 7 см – белого; 8 см – коричневого; 9 см – синего; 10 см – “золотого” цвета.

ЦЕЛИ: прямая: построение на сенсорном уровне квадрата, соответствующего как таблице умножения чисел от 1 х 1 до 10 х 10, так и ряду алгебраических формул. Косвенная: подготовка к изучению арифметики и алгебры; подготовка к изучению таблицы умножения и алгебраических формул квадрата суммы двух, трех, десяти чисел.

ПРИМЕЧАНИЯ: 1) Ящик стоит в открытом виде на полке на своей собственной крышке. 2) С материалом можно работать как на столе, так и на коврике.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ:

1) Учитель: “Посмотри, что здесь лежит! Это не просто прямоугольники Из них можно построить что-то очень красивое! Ты можешь взять этот ящик и поставить его на стол” Ребенок относит ящик на стол.
2) Учитель берет красный квадрат и кладет его слева перед ребенком, оставив внизу справа достаточно места (примерно половину стола). Затем он берет все зеленые фигуры, сортирует их по размеру и кладет в следующем порядке: один зеленый прямоугольник – справа, короткой стороной вплотную к красному квадрату; второй зеленый прямоугольник – внизу, короткой стороной вплотную к красному квадрату; зеленый квадрат – в образовавшееся между зелеными прямоугольниками пустое поле. Так образуется квадрат большего размера.

3) Далее берут розовые фигуры, сортируют их по размеру и раскладывают вокруг имеющегося квадрата, достраивая его до квадрата большего размера. Узкие розовые прямоугольники кладут справа и снизу, короткой стороной вплотную к коротким сторонам соответствующих зеленых прямоугольников; более широкие розовые прямоугольники кладут справа и снизу короткой стороной вплотную к сторонам зеленого квадрата; в образовавшееся между прямоугольниками пустое поле кладут розовый квадрат.

4) Каждый новый квадрат, построенный таким способом, получается из предыдущего добавлением очередного слоя. Слои чередуются в следующем порядке: красный, зеленый, розовый, желтый, светло-голубой, сиреневый, белый, коричневый, синий, “золотой”.

ПРИМЕЧАНИЕ: не обязательно показывать ребенку построение всего Деканомического квадрата. Обычно дети быстро понимают принцип работы и с удовольствием продолжают построение самостоятельно.

5) По окончании работы геометрические фигуры каждого цвета кладут в соответствующее отделение ящика. Ящик ставят на полку.
ОСОБЫЙ ИНТЕРЕС: очень точно положить подходящую фигуру на нужное место.

КОНТРОЛЬ ОШИБОК: визуальный – размеры и цвета деталей, цвета слоев квадрата; в случае неаккуратной работы детали сдвигаются друг относительно друга, квадрат выглядит неряшливо.

УПРАЖНЕНИЯ: 1) Повторение работы, показанной на презентации.

2) Заменить прямоугольники и квадраты соответствующими стержнями с цветными бусинами и квадратами из цветных бусин (см. работу с математическим материалом в [9, С. 341 – 342]).

Квадратам, обозначенным а х а, соответствуют квадраты из а х а цветных бусин. Прямоугольникам, обозначенным m х п, соответствуют m стержней из п цветных бусин. Например, прямоугольнику 1 х 2 соответствует один стержень с двумя зелеными бусинами, прямоугольнику 3×4 соответствуют три стержня с четырьмя желтыми бусинами на каждом. ПРИМЕЧАНИЕ: Деканомический квадрат наглядно иллюстрирует смысл формулы квадратов сумм двух, трех, десяти величин как в общем виде, так и в конкретной форме.

а)   Если  длины   красного,  зеленого,  розового,  желтого, “золотого” отрезков обозначить через ai, до,      ain соответственно, то общую формулу для квадрата сумы десяти положительных величин можно было бы записать следующим образом: (ai+a2+a3+…+aw)2=ai2+a22+…+aio2 + 2aia2 + 2 aja3 +… 2aiaio+ +2 а2а3 +… + 2а2а10 + 2а3а4 + 2а3а5 + … + 2а3а10 + -..+ 2а9а10 На практике мы часто используем лишь две формулы такого вида, а именно:

(а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2 и (а + b + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2ab + 2Ьс + 2ас.

б) Построение каждого квадрата добавлением нового слоя к предыдущему квадрату можно описать следующей выкладкой:
(а! + а2 + … + ак+1)2 = [(а, + а2 + … + а^ + ак+1]2 = = (ai + а2 + … + ак)2 + а2к+1 + 2ак+1(а1 + … + ак)

Пусть к = 7, тогда левая часть равенства означает квадрат из 8 слоев (от красного до коричневого включительно). Первый член в правой части равенства означает квадрат из 7 слоев (от красного до белого), второй член – коричневый квадрат, третий член – все остальные прямоугольники коричневого слоя, имеющие одинаковую длину ak+i и различную ширину от at до ак.

Читателю рекомендуется придать к какое-либо значение от 1 до 9 и самостоятельно найти геометрическую интерпретацию приведенной выше формулы с помощью Деканомического квадрата.

в) Обратимся к интерпретации общих формул с помощью конкретных чисел. Мы знаем, что длина и ширина каждого из наших прямоугольников – деталей Деканом ического квадрата – выражается целым числом сантиметров, поэтому сопоставим каждом такому прямоугольнику его площадь, т.е. произведение длины на ширину. Тогда легко получаются конкретные формулы, например:
(1 + 2 + З)2 = 12 + 22 + З2 + 2(1×2 + 1×3 + 2×3).

Если “вырезать” из Деканом ического квадрата его часть – какой-либо другой квадрат, например, состоящий из желтого квадрата, голубого квадрата и двух голубых прямоугольников, получим формулу: (4 + 5)2 = 42 + 52 + 2x4x5.

Пусть нам требуется вычислить квадрат суммы чисел 2, 6 и 9. “Вырежем” из Деканом ического квадрата все квадраты и прямоугольники с длинами, не равными 2, 6 и 9 (т.е., по существу, уберем из него целые полосы). Оставшиеся фигуры сдвинем таким образом, что они снова образуют квадрат, состоящий из 3 квадратов (зеленого, сиреневого и синего) и прямоугольников (двух сиреневых 2×6, двух синих 2×9 и еще двух синих 6×9). Отсюда получим формулу: (2 + 6 + 9)2 = 22 + б2 + 92 + 2(2×6 + 2×9 + 6×9).

г) При помощи Деканомического квадрата можно получить формулу для квадрата разности двух величин в общей и конкретной формах. Рассмотрим, например, квадрат, состоящий из розового квадрата, белого квадрата и двух белых прямоугольников.

Обозначим через а сторону этого большого квадрата, а через b -длину белого отрезка; тогда площадь розового квадрата будет равна (а – Ь)2. С другой стороны, розовый квадрат получен из большого квадрата а2 путем удаления белого слоя, то есть белого квадрата Ь2 и двух белых прямоугольников b(a – Ь). Имеем: (а – b)2 = а2 – b2 – 2b(a – b) = а2 + b2 – 2ab.

Правая часть этого равенства легко получается после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

Подставляя в эту формулу конкретные числа, в нашем случае это а = 10 и b = 7, получаем З2 = (10 – 7)2 = 102 + 72 + 2x7x10.

Еще более очевидной становится иллюстрация формулы квадрата разности двух чисел, если, в нашем случае, мы возьмем “золотой” квадрат 10×10, два белых прямоугольника 7×10, розовый квадрат 3×3 и белый квадрат 7×7.

Какие фигуры нужно “отнять” от “золотого” квадрата, чтобы получить розовый квадрат? Если от “золотого” квадрата “отнять” два белых прямоугольника 7×10, то белый квадрат 7×7 “отнимется” дважды, так как части этих прямоугольников при наложении на “золотой” квадрат накладываются друг на друга и дают в пересечении удвоенный белый квадрат.

Отсюда следует, что один белый квадрат нужно прибавить, и именно тогда от “золотого” останется часть, равная розовому квадрату. Запишем эти операции формально: 102 – 2x7x10 + 72 = З2 = (10 – 7)2, или в общем виде:
а2 – 2bxa + Ь2 = (а – Ь)2, что и требовалось.

Читателю рекомендуется повторить эти рассуждения для других чисел.

ВОЗРАСТ: с 4,5 лет.